流体力学におけるQ値のメモ - 研究に用いるツールのメモなど

Q値は，速度勾配テンソル

$\displaystyle W_{ij}=\frac{\partial u_i}{\partial x_j}$

（ただしi,j=1,2,3であり，以後，総和規約を考慮する）

の第２不変量で定義される．

第2不変量であるから，

$Q=W_{22}W_{33}-W_{23}W_{32}+W_{11}W_{22}-W_{12}W_{21}\\+W_{11}W_{33}-W_{13}W_{31}$

と表される．

総和規約を用いて書くと

$\displaystyle Q=\frac{W_{ii}W_{ii}}{2}-\frac{W_{ij}W_{ij}}{2}$

とも書くことができる．これら２つの表現は等価である．

以上は一般の流体に対して成立するが，さらに，非圧縮流体( $W_{ii}=W_{11}+W_{22}+W_{33}=0$ を満たす流体)に対しては，

$Q=\frac{1}{2}(\Omega_{ij}\Omega_{ij}-S_{ij}S_{ij})$

と表すことができる．

ただし， $\Omega_{ij},S_{ij}$ はそれぞれ渦度テンソルと変形速度テンソルであり，定義は

$\displaystyle \Omega_{ij}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j}-\frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)$

$\displaystyle S_{ij}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)$

である．

$\Omega_{ij}$ は反対称テンソル， $S_{ij}$ は対称テンソルである．